A Física procura encontrar as leis que regem o comportamento da natureza.

Interessa por isso olhar para quais são essas leis e perceber como as ferramentas computacionais podem ser úteis para perceber o seu conteúdo.

Leis de Newton¶

Vamos considerar o problema do movimento de um corpo de massa $m$. A sua posição pode variar no tempo, sendo uma função vetorial $\vec{r}(t)$ - que na verdade são 3 funções $x(t)$, $y(t)$ e $z(t)$. Este corpo pode ser uma bola a cair devido à atração gravítica da Terra, a própria Terra a mover-se em torno do Sol, ou numa escala mais pequena, um átomo a colidir com outros átomos.

A primeira descrição das leis que determinam estes movimentos foi dada por Newton, e durante mais de 200 anos, foi a única descrição que tínhamos da natureza. Há cerca de um século, descobrimos que ela se comporta de maneira diferente, quer quando olhamos para coisas muito pequenas, como o movimento de átomos, quer quando olhamos para coisas muito grandes, como o movimento de planetas e estrelas. Em cada um destes casos surgiram novas teorias, não havendo ainda um conjunto de leis que funcione em todos as dimensões.

Contudo, à escala do ser humano, as leis de Newton fornecem uma descrição praticamente exata da realidade e é para estas que vamos olhar.

Leis de Newton¶

Existem várias maneiras de descrever a Mecânica Clássica (Newtoniana). Newton descreveu a interação entre corpos através de Forças. De forma geral, a força aplicada num corpo é um vetor que pode depender da sua posição, velocidade, e do tempo $F(\vec{r},\vec{v},t)$.

A velocidade é definida como variação da posição por intervalo de tempo, e a aceleração como variação da velocidade:

$\vec{v} = \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}\;\;$ e $\;\;\vec{a} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} $

Se estas quantidades variarem rapidamente, devemos calcular em intervalos de tempo curtos o suficiente, durante os quais $\vec{v}$ e $\vec{a}$ são aproximadamente constantes.

A 2ª Lei de Newton é então a equação que determina o movimento do corpo, e tem a fomra:

$\quad \boxed{\vec{F} = m\vec{a}}$

O movimento é $\vec{r}(t)$ que satisfaz esta equação.

$ $ $ $

Exemplo - Movimento com força constante¶

Consideramos movimento a uma dimensão.

Se a força for constante $F$, a aceleração é também constante $a = F/m$. Neste a velocidade tem solução exata fácil:

$ \frac{\Delta v}{\Delta t} = a =const. \;\Longleftrightarrow\; \Delta v = v(t) - v_0 = a \cdot t$

Onde $v_0$ corresponde à velocidade do corpo em $t=0$.

Para a posição, como a velocidade não é constante, temos de considerar intervalos pequenos, durante os quais a velocidade é aproximadamente constante:

$\frac{\delta x}{\delta t} = v \;\Longleftrightarrow\; \delta x = x(t+\delta t) - x(t) = v(t) \cdot \delta t$

Esta equação tem como solução:

$x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2$

Onde $x_0$ é uma constante qualquer que vai corresponder à posição do corpo em $t=0$.

A equação obtida aplica-se por exemplo à queda de corpos. A força gravítica é em geral mais complicada, mas junto à superfície da Terra é aproximadamente constante. Um corpo de massa $m$ é atraído para a Terra com:

$\vec{F_g} = -mg \vec{e_z}$

Verifica-se então que $a_z = F_z/m = -mg/m = -g$, que é independente da massa do corpo $-$ todos os corpos caem com a mesma aceleração, se não existirem outras forças como atrito no ar que os distingam. Nas direções $x$ e $y$ a força é nula pelo que $a_x = a_y = 0$. Então temos:

$x(t) = x_0 + v_{x0} t$

$y(t) = y_0 + v_{y0} t$

$z(t) = z_0 + v_{z0} t -\frac{1}{2}gt^2$

Método de Euler¶

Apesar do exemplo visto ter solução simples, isto não acontece para a maior parte dos problemas. Interessa por isso investigar como observar o movimento aproximado do corpo, para os casos em que a solução exata não está ao nosso alcance.

Aproximações¶

A maneira como podemos calcular aproximadamente o movimento do corpo é considerando pequenos intervalos do tempo, nos quais a força é aproximadamente constante. Chamando a este intervalo $dt$, temos:

$\frac{\delta v}{\delta t} = F/m \approx const. \;\Longrightarrow\;\;v(t+dt) \approx v(t) + F/m \cdot dt$

Da mesma maneira, a velocidade variou pouco durante este intervalo, pelo que:

$\frac{\delta x}{\delta t} = v \approx const. \;\Longrightarrow\;\; x(t+dt) \approx x(t) +v\cdot dt $

Usando estas equações podemos determinar soluções aproximadas para os nossos problemas:

Método de Euler¶

Conhecendo as condições iniciais do nosso problema:

$\vec{r}(t=0) = \vec{r_0}$

$\vec{v}(t=0) = \vec{v_0}$

Escolhemos um intervalo de tempo pequeno o suficiente $dt$, e calculamos iterativamente, até alcançar o tempo desejado:

$\vec{v}(t+dt) = \vec{v}(t) + \vec{F}/m \cdot dt$

$\vec{r}(t+dt) = \vec{r}(t) + \vec{v} \cdot dt$

Escolhendo $dt$ cada vez mais pequeno a solução obtida deve tender para a solução exata, contudo aumenta o número de contas que temos de fazer.